Математические действия над результатами измерений.

 Показать / Скрыть текст

 

Функциональные преобразования результатов измерений.

При использовании измерительной информации нередко производят различные математические действия над результатами измерений. При этом обязательно нужно учитывать, что результат измерения является случайным значением измеряемой величины. Обращение с результатами измерения, как с неслучайными значениями приводит к ошибкам.

Любые функциональные преобразования результатов измерений связаны с изменением из законов распределения вероятности. Так, если Q=f(A), где А – результат измерения, а f– монотонная функция, то плотность распределения вероятности Q выражается через плотность распределения вероятности результата А измерения.

Пример: Q=A², плотность распределения А: . Определить закон распределения вероятности результата измерения P(Q).

Решение:

При сложных функциях и в случае, когда функция является функцией нескольких переменных, произвести указанные преобразования невозможно. В этом случае обычно ограничиваются определением приближенных оценок числовых законов.

Пусть осуществляются косвенные измерения величины Q путем вычисления ее значения по результатам измерений А и В по известной зависимости Q=f(A; B). Предположим, что в результат измерения А и В внесены все необходимые поправки. Тогда А и В можно представить.

Идея приближенного вычисления заключается в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения.

Очевидно, что по сравнению с и значения δ_Аи δ_В достаточно малы, поэтому разложим функцию f в ряд Тейлора.

Из анализа выражения (1.59) видно, что первые слагаемые правой и левой частей не зависят от случайных отклонений, и следовательно:

Для определения поправки Θ вычитаем из (1.59) уравнение (1.60) и усредним левую и правую части полученного выражения.

Видно, что при функциональных преобразованиях результатов измерений, даже при равенстве нулю значений поправок А и В возникает необходимость во внесении поправки Θ.

Переходя к точечным оценкам, получим:

Рассмотрев общий подход к функциональным преобразования результатов измерений, рассмотрим несколько частных случаев.

Пример 1: Алгебраическое сложение результатов измерений.

Измеряют сопротивления двух резисторов. Получен результат R₁=100 Ом, S_R1=5.8 (распределение равномерное) и R₂=100 Ом, S_R2=5.8 (распределение равномерное). Определить сопротивление последовательно соединенных указанных резисторов.

Решение: 

1. Определим Ом; Θ=0.

Ом.

2. Определим сопротивление R с учетом того, что R₁=R₂, как R=2·R₁. Тогда Ом; Ом.

Пример указывает на то, что для результатов измерений операция сложения не эквивалентна операции умножения, то есть , где Q_i=Q.

Выше указывалось, что распределение вероятности алгебраической суммы нескольких случайных величин называют композицией их распределений. Полезно знать, что композицией двух равномерных законов распределения является треугольный закон распределения (закон Симпсона). Композицией двух равномерных законов с неодинаковым размахом является трапециидальный закон. С увеличением числа независимых слагаемых композиция их законов распределения быстро стремиться к нормальному закону (4..5 слагаемых). Нормальный закон является наиболее устойчивым.

Вернемся к рассмотренному примеру. Определим интервал, в котором лежит значение суммарного сопротивления. Поскольку как установлено закон распределения треугольный, то воспользовавшись