САУ лекции. Косчинский.

Лекция 1. (Вводная)

Основные понятия и определения
Классификация

Вся деятельность человечества связана с производством и переработкой (преобразованием) – вещества, энергии и информации.
Совокупность способов производства и преобразования называется технологическими процессами. Любой технологический процесс включает в себя:
- рабочие операции: действия, необходимые для выполнения процесса в соответствии с природными законами, которыми определяется ход процесса;
- операции управления: действия, определяющие порядок протекания технологического процесса.
Замена труда человека в рабочих операциях называется механизацией, а в операциях управления – автоматизацией.
Например: Замена труда человека в подаче угля в печь в сталеплавильном производстве на механическую подачу – механизация, а установка системы дозированной подачи угля (исходя из пропускной способности печи) – автоматизация.
Автоматизация осуществляется с помощью соответствующих систем автоматического управления (САУ) и регулирования (САР).

Рисунок 1.1. Технологический процесс

Любая САУ и САР состоит из: объекта управления (ОУ), регулирующего элемента (РЭ) и регулятора (Р).
В зависимости от выполняемых функций САР и САУ делятся на:
- системы стабилизации (реализующие поддержание на заданном уровне одного или нескольких показателей ОУ). Например: компенсационный стабилизатор напряжения;
- системы слежения (реализующие динамическое изменение показателей ОУ в соответствии с функцией управления). Например системы ФАПЧ;
- адаптивные системы (реализующие динамическое изменение параметров или структуры ОУ или Р для достижения экстремума какого-либо показателя качества). Например САУ на основе искусственных нейронных сетей.
Адаптивные САУ могут быть:
- самонастраивающимися (системы с изменением значений параметров ОУ или Р);
- самоорганизующимися (системы с изменением структуры ОУ или Р и (или ) алгоритма управления).

Если выбор структуры и (или) параметров САУ производится из условия достижения экстремума каким-либо критерием качества, то такие САУ называются оптимальными.
Некоторые учебники вводят различие между САУ и САР. Под САР понимают системы, управляющие (регулирующие) одним показателем ОУ, а под САУ понимают системы, осуществляющие управление по нескольким показателям ОУ. Хотя указанное различие условно и мы его придерживаться не будем.
Существуют три основополагающих принципа управления, определяющие структурное построение САУ.

1. Принцип разомкнутого (прямого) управления.

* РЭ может отсутствовать.
Рисунок 1.2. САУ прямого действия

2. Принцип компенсации (управление по возмущению).

Рисунок 1.3 Компенсатор

3. Принцип обратной связи (регулирование по отклонению)

Рисунок 1.4 САУ с обратной связью

Разница между задаваемой и регулируемой величинами называется отклонением или ошибкой регулирования.
В качестве примера САУ, реализующих различные принципы управления рассмотрим различные стабилизаторы напряжения.
Рисунок 1.5 САУ прямого действия
Задаваемая величина реализуется ВАХ стабилитрона, регулируемая величина – выходное напряжение.
Рисунок 1.6. САУ с компенсацией

Компенсация температурного воздействия (под действием температуры стабилитрон имеет положительное отклонение, а диод отрицательное).

Рисунок 1.7. Примеры САУ с различными принципами управления
(САУ с обратной связью)

В действительности, по настоящему «автоматическими» являются только САУ с обратной связью и всё дальнейшее изложение будет посвящено изучению именно этих систем.
Исторически, первый САУ с обратной связью считается поплавковый регулятор уровня жидкости, известный уже более 2 тыс. лет.

Рисунок 1.8. Регулятор уровня жидкости

Широкое использование в технике САУ с обратной связью началось с ряда изобретений в 17-18 вв. В частности, с изобретения регулятора температуры печи голландским мастером Корнелиусом Дреббелем и с изобретением центробежных регуляторов паровой машины Ползуновым и Уаттом.


Рисунок 1.10. Центробежный регулятор Уатта.
Скорости вращения вала двигателя (регулируемая величина) прямо пропорциональна центробежной силе. Жесткость пружины (задаваемая величина) прямо пропорциональна силе сопротивления. Смещение (или угол наклона) коромысла – ошибка регулирования определяет угол открытия заслона – РЭ и соответствующая скорость вращения вала двигателя (ОУ).
В настоящее время используется множество САУ, которые можно классифицировать:

По условиям функционирования:
- стахостичесткие (функционирующие в условиях помех и описываемые статистическими мат. моделями),
- детерминированные.

По принципам функционирования:
- непрерывные;
- дискретные.

По виду характеристик элементов САУ:
- линейные;
- нелинейные.

Непрерывные САУ, характеризуются непрерывной зависимостью сигнала на выходе РЭ от времени, а дискретные САУ характеризуются дискретной подачей сигналов с выхода РЭ на вход ОУ.
В свою очередь, САУ является линейными, если амплитудные характеристики всех звеньев САУ линейные, в противном случае САУ – относятся к нелинейным системам.

Лекция 2. Математическое описание САУ непрерывного времени.

На предыдущих занятиях мы установили, что типовая структура САУ, реализующая принцип регулирования по отклонению имеет вид:

Рисунок 2.1. Типовая структура САУ

где: u – управляющее воздействие,
х – регулируемая величина,
- ошибка регулирования (отклонение).

При исследовании и проектировании САУ обязательно наличие их математического описания: структурной схемы и уравнений, описывающих отдельные звенья САУ.
Для различных задач анализа и синтеза САУ используется различное математическое описание (мат. модели (ММ)). Кроме того, для определения динамических и статических свойств САУ используется различное мат. описание – уравнение динамики и статики.
Под динамикой САУ понимают эволюцию процессов в САУ во времени при произвольных входных воздействиях.
Под статикой понимают соотношения между различными переменными САУ в установившемся режиме. Некоторые учебники делят все системы на динамические и статические (пример). Однако на мой взгляд это неверно. Все системы являются динамическими. Однако для любой системы можно выбрать интервал времени, на котором ее можно рассматривать как статическую. Поэтому правильным будет разделять задачу анализа системы на анализ динамики и анализ статики. Соответственно уравнения динамики САУ представляют собой в общем случае систему дифференциальных уравнений и описывают переходный процесс в САУ, а уравнения статики представляют собой систему алгебраических уравнений и описывают установившийся режим в САУ. Уравнения статики обычно следуют из уравнений динамики. Здесь необходимо отметить, что существуют и другие формы записи уравнений динамики САУ (например, в форме рекуррентных соотношений для дискретных САУ ).

Пример: Двигатель постоянного тока независимого возбуждения.

Рисунок 2.2а. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения

J – момент инерции на валу;
- поток двигателя;
Мс – момент сопротивления.

Рисунок 2.2б. Электрическая модель якоря двигателя

Электрическая подсистема:

Механическая подсистема:

тогда:

Уравнения динамики:

Уравнения статики получаем из условия:

где - значения переменных, характеризующих ОУ в установившемся режиме.

Рисунок 2.3.

При составлении уравнений динамики для электрических схем используют элементарные соотношения:
Рисунок 2.4

.
Элементы, описываемые дифференциальными уравнениями называют реактивными. При составлении уравнений динамики для систем произвольной природы (механические, гидравлические, пневматические) используют соответствующие физические закономерности.
В общем случае ММ САУ представляется в виде дифференциальных уравнений.
(2.1)
Причем заменой переменных, данная ММ всегда может быть приведена к нормальной форме:
(2.2)
где - вектор переменных САУ (переменных состояния). Соответственно ММ (2) называют уравнениями состояния САУ.
Здесь и далее будем обозначать большими латинскими буквами векторы и матрицы, а маленькими латинскими буквами – скалярные переменные.
(Показать переход от (2.1) к (2.2) и обратно.)
Начнем рассмотрение САУ с класса линейных САУ непрерывного времени.
САУ называется линейной, если она удовлетворяет принципу суперпозиции.
Т.е. пусть для задающего воздействия U1(t), значение регулируемой переменной х1(t), а для U2(t) значение регулируемой переменной х2(t). Тогда САУ является линейной, если для управляющего воздействия на входе САУ вида:
значение регулируемой переменной будет иметь вид:

Иными словами, САУ является линейной если амплитудные характеристики всех звеньев САУ (Р, РЭ, ОУ) линейные.
(привести примеры)
ММ линейной САУ в общем виде:
2.3
Принято приводить ММ к стандартному виду:

Или в форме уравнений состояния:

где А и В – квадратная матрица и вектор, Х – вектор состояния, U – управление.
Хотя в природе в общем случае нет линейных систем, многие системы содержат слабые нелинейности и первом приближении их можно рассматривать линейными. Кроме того, теория линейных САУ является наиболее проработанным (развитым) разделом теории автоматического управления (ТАУ), что долгие годы побуждало инженеров искать способы линеаризации реальных систем. Успехи линейной ТАУ в значительной степени обусловлены использованием частотных методов (интегральных преобразований), позволяющих свести анализ САУ от дифференциальных уравнений к алгебраическим.
Введем понятие оператор дифференцирования , тогда ММ (2.3) примет вид:
(2.5)
или

где Q(p) – собственный оператор САУ (или оператор объекта управления),
R(p) – оператор воздействия.
Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией САУ:

Тогда САУ описывается уравнением:
(2.6)
Уравнение (2.6) описывает так называемые вынужденные колебания в САУ, т.е. колебания от внешнего воздействия U(t).
Операторная форма записи ММ иллюстрирует общий подход к использованию интегральных преобразований при анализе линейных САУ. Наиболее мощным средством анализа линейных САУ является использование интегрального преобразования Лапласа.

(прямое преобразование),

(обратное преобразование).
Где - комплексная переменная,
X(s) – изображение, x(t) – оригинал.
x(t)=0, при t<0 и возрастает не быстрее экспоненты , M=const, C=const. Причем .
Основные свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности

Дифференцирование оригинала

для (2.7)
Из (2.7) видно различие между операторным представлением ММ линейной САУ (2.5) и представлением в форме преобразования Лапласа.
Операторная форма записи описывает только вынужденные колебания в САУ т.е. колебания, обусловленные внешним воздействием, а представление ММ линейной САУ в форме преобразования Лапласа описывает как вынужденные колебания, так и собственные колебания САУ обусловленные не нулевыми начальными условиями. Т.е. ММ линейной САУ в форме преобразования Лапласа имеет вид:

- вынужденные колебания
- собственные колебания.
(Пример вынужденных и собственных колебаний.)
Интегрирование оригинала .
Теорема запаздывания .
Теорема о свертке .
Теорема о предельных значениях , если существует то .
Теорема о разложении - рациональная дробь, причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя, то оригиналом x(t) является

где Sk –корни уравнения B(s) =0, nk – их кратности, l – число различных корней.
Если все корни различные, то
, где n – степень полинома B(s),
.
Таблица преобразований Лапласа.




(t)
1
1(t)





















Лекция 3. Частотные и временные характеристики линейных САУ.

На предыдущем занятии мы установили, что существуют различные ММ для задач динамики и статики. А также, что основным описанием САУ является передаточная функция в форме преобразования Лапласа
Сущность преобразования Лапласа заключается в том, что любой произвольный сигнал во времени U(t) можно представить в виде бесконечной суммы комплексных экспонент . Тогда прохождение этого сигнала через линейную САУ можно представить как умножение комплексных экспонент в сигнале U(t). При этом передаточная функция САУ W(s) при замене s на , может рассматриваться как соответствующая зависимость этого комплексного передаточного коэффициента от частоты.
Функция , получающаяся при подстановке в передаточную функцию САУ W(s) называется частотной передаточной функцией.



Кривая на комплексной плоскости называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Причем - называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а - называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Частотные характеристики придают наглядность передаточной функции и служат основой для различных графических методов синтеза САУ.
Для лучшего понимания физической сущности частотных характеристик найдём реакцию произвольной линейной САУ на управляющее воздействие .
Представим ,
, .
Найдём частное решение линейной САУ на управляющее воздействие .

Будем искать решение в виде , где А1 не зависит от времени, тогда
Аналогично, для частного решения x2(t) получим:

т.е. при гармоническом воздействии на линейную САУ вынужденные колебания в САУ также изменяются по гармоническому закону. При этом отношение амплитуд входных и выходных величин равно модулю передаточной функции, а сдвиг фаз – аргументу передаточной функции для данной частоты.

Часто при анализе линейных САУ используют логарифмические частотные характеристики:

- ЛАЧХ и - ЛФЧХ в зависимости от . Единицей является децибел [дБ], единицей является декада (октава).
На практике при построении логарифмических частотных характеристик используют так называемый асимптотический метод:
1.Определить все сопрягающие частоты т.е. корни полиномов числителя и знаменателя, взятые с обратным знаком.
2.Преобразуется частотная передаточная функция к виду
3.Выполняется построение асимптотических характеристик отдельных элементов передаточной функции. Т.е. для компонент
4.Суммируем асимптоты. Причем асимптоты числителя со знаком «+», а асимптоты знаменателя со знаком «-». Что следует из и из представления Эйлера комплексного числа следует

Особенности построения асимптот

Для сомножителя в знаменателе (числителе) , асимптота имеет вид:

Рисунок 3.1а. В числителе

Рисунок 3.1б. В знаменателе

Для сомножителя в знаменателе (числителе) частотной передаточной функции асимптота имеет вид:

Рисунок 3.1в. В числителе

Рисунок 3.1г. В знаменателе

Пример: Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ для САУ с передаточной функцией

1.Определим сопрягающие частоты
- корни числителя
- корни знаменателя
,

тогда сопрягающие частоты: .

2.Преобразуем частотную передаточную функцию к удобному для построения виду:


3.Стоим асимптоты
Рисунок 3.2.

4.Сумируем асимптоты

Рисунок 3.3.

- полюсы частотной характеристики,
- нули частотной характеристики.

Суммарное количество полюсов и нулей равно числу сопрягающих частот.

Временные характеристики

Наряду с описанием в частотной области линейные САУ м/б описаны во временной области. Для подобного описания используют импульсную переходную функцию и переходнуюхарактеристику.
Импульсной переходной функцией САУ называют реакцию САУ на единичный - импульс и обозначают .

где W(s) – передаточная функция САУ.
Если в терминах преобразования Лапласа реакция линейной САУ на управляющее воздействие U(s) имеет вид то во временной области подобная реакция может быть найдена через операцию свертки .
(привести пример свертки).
Переходной функцией САУ h(t) называется ее реакция на единичную ступенчатую управляющую функцию 1(t).
Переходная функция м/б выражена через передаточную функцию САУ:
.
Временные характеристики используют для оценки показателей качества САУ.