Билеты по математике 1 семестр 1 курс

Понятие определителя. Вычисление определителей 1,2 и 3-го порядка. Свойства 1°-3° определителей

Свойства 4°-8° определителей

Понятия алгебраического дополнения и минора, разложение определителя. Свойства 9°-10° определителей

Правило Крамара решения систем линейных уравнений

Понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами

Нахождение обратной матрицы. Проверка. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Ранг матрицы. Базисный минор. Методы нахождения ранга матицы

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Теорема о базисном миноре

Решение систем линейных уравнений, основные понятия. Условие совместности системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Условия существования нетривиальных ре­шений

Решение систем линейных уравнений, базисные и свободные неизвестные. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

Элементы векторной алгебры, основные понятия

Понятие базиса пространства. Разложение вектора по базису

Скалярное произведение векторов, его свойства. Условие ортогональности векторов. Угол между векторами. Свойства скалярного произведения

Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов. Проекция вектора на ось. Механическое приложение скалярного произведения векторов

Векторное произведение векторов. Геометрический смысл векторного произведения

Свойства векторного произведения векторов. Вывод формулы для вычисления векторного произведения. Механическое приложение векторного произведения

Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл. Компланарность векторов. Вывод формулы для вычисления смешанного произведения

Понятие линии на плоскости. Полярная система координат. Линия первого порядка. Понятия направляющего вектора прямой и вектора нормали

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Переход от этих уравнений к общему уравнению прямой и обратно

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, геометрический смысл углового коэффициента прямой. Уравнение прямой в отрезках. Переход от этих уравнений к общему уравнению прямой и обратно. Угол между прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых

Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Отклонение и расстояние от точки до прямой

Уравнение поверхности и линии в трёхмерном пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве. Направляющие векторы плоскости и вектор нормали. Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку при двух заданных направляющих векторах. Переход от этих уравнений к общему уравнению плоскости и обратно

Нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до плоскости

Уравнение плоскости в отрезках. Угол между плоскостями. Взаимное расположение плоскостей

Прямая в трёхмерном пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве. Переход от общего уравнения прямой к каноническому и обратно

Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости

Кривые 2-го порядка. Классификация. Эллипс, его основные характеристики

Гипербола, парабола, их основные характеристики. Поверхности 2-го порядка, классификация

Понятие числовой последовательности.-Арифметические операции над последовательностями. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Понятия бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной последовательностей, их свойства. Примеры. Доказательство существования пределапоследовательности (1+1/n)n

Предел функции в точке. Односторонние пределы. Условие существования предела функции в точке. Свойство функций, имеющих предел

Первый замечательный предел (доказательство). Следствия из первого замечательного предела. Пример

Второй замечательный предел (доказательство). Следствия из второго замечательного предела. Пример

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Виды неопределённостей. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема об отношении бесконечно малых функций

Непрерывность функции одной переменной в точке. Условие непрерывности функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Свойства непрерывных в точке функций

Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Пример

Теоремы Больцано-Коши, теоремы Вейерштрасса, их геометрический смысл

Понятие производной функции одной переменной в точке. Односторонние производные. Условие существования производной в точке

Геометрический и механический смысл производной функции одной переменной. Уравнение касательной и нормали к графику функции

Правила дифференцирования суммы двух функций. Вывод формул

Правила дифференцирования произведения двух функций. Вывод формул

Правила дифференцирования частного двух функций. Вывод формул

Производная сложной функции одной переменной. Логарифмическая производная. Вывод формул

Производная обратной функции, вычисление обратных тригонометрических функций. Вывод фор­мул

Понятие дифференциала функции одной переменной. Связь дифференциала функции и её произ­водной

Приближённые вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала

Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Пример

Основные теоремы о дифференцируемых функциях, их геометрический смысл

Применение производных к вычислению предела функции. Правило Лопиталя, применение его к неопределённостям вида [∞∕∞], [0∕0] (доказательство)

Применение производных к вычислению предела функции. Правило Лопиталя, применение его к неопределённостям вида [0∙∞], [∞-∞] (вывод)

Применение производных к вычислению предела функции. Правило Лопиталя, применение его к неопределённостям вида [1∞], [0∞], [∞0] (вывод)

Дифференцирование функции, заданной параметрически, первая и вторая производные таких функций (вывод)

Формулы Тейлора и Маклорена, разложение функции, остаточный член разложения. Пример

Условие монотонности функции на промежутке (доказательство). Достаточное условие монотонности функции

Понятия локального минимума и максимума функции одной переменной. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции (доказательство). Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Понятия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции на интервале. Достаточное условие выпуклости функции (доказательство)

Точки перегиба. Достаточное условие существования перегиба функции. Стационарные и критические точки 2-го рода

Асимптоты (вертикальные, горизонтальные и наклонные) функций